好慢好慢

过节总是这样：人很忙，但脑子很闲。在既忙又闲的时节里，T某忽然忆起：去年某个既忙又忙的日子，一位朋友炫耀了一通自己婚后的幸福生活。总结陈词里，他将幸福归功于自己要求不高。言下之意，T某正陷在水深火热，这无疑是标准太高所致。人生于世，如鱼饮水，冷暖自知，——且不说它。然而这标准过高论，似乎颇可商榷。

 

我终于没有商榷商榷。若要反驳此论，须得将T某之标准公之于众。然而，不可说。非是T某玩什么感觉流，“非言语所能形容”——实在是有些不得已处。

 

譬如大街上忽然躺着一张人民币。如果是一百的，竞求者众。然而好男不包二奶，好钱不撕两半。于是就有汰选的标准，先笔试后面试，层层道道过筛子。其中有些标准容易测算。比如身高，拿皮尺一量就得。有些标准，比如脾性，难以直接测量，只能测试旁的有关但非充分或非必然的变量倒回去估算。这些“有关但非充分或非必然”的东西里面就容易出猫腻。须知：伪装是人的本能。

 

假如百元钞希望托付给一个温润的人。然而“温润”不易度量，所以代之以如下几款标准：1. 张牙舞爪的不要；2. 烟酒嫖赌的不要；3. 仿佛全世界都欠了他钱的不要。这些自然容易度量，然而也容易伪装——至少伪装个把月不是问题。所以，这几款标准需要绝对保密。

 

非要逆势而动、广而告之则如何？在制造业时代，钢铁产量是国力的一个高度相关的变量。上头一旦公开以之为纲，底下便放卫星。于是大炼钢铁，于是连铁锅也没了。

世上的事物，度量起来或多或少总有些困难。即便一目了然如身高肤色，也有高跟鞋和化妆品。所以，制定标准然后保密起来，一般总是不差的策略。

 

无论T某值几个铜板，总之说不得——冷落如一分钢蹦儿者更是不必说，说也无益。

 

不可说。

 

不可说。

第一次在新语丝上冒泡，所以谨慎一点，谈谈老本行。

 

因为蒋劲松最近谈起了吴国盛版的“芝诺悖论”，引来的陈祖甲老先生的几句议论。而陈老先生的议论，又引来新语丝上更多的议论。世上的“悖论”虽然很多，著名似乎只有这么几个，于是罗素悖论又惹上了池鱼之灾。

 

wangcf说：“数学上是存在悖论的，比如著名的‘理发师悖论’”。现代数学上有没有悖论我不知道，毕竟我不通晓所有的数学门类。但我知道，罗素悖论已经被现代数学排除了。阮宗光又言道：“任何公式用在自己身上就可能产生自我矛盾”。“可能”自然是不错的，总归稍嫌粗糙。

 

理发师悖论，逻辑学里称作罗素悖论。罗素先生写过一本《数理哲学导论》，介绍当时数学上的一些成果。书里介绍罗素悖论时用小村庄里的理发师打了个比方，结果这个比方因为通俗（并不易懂）反倒喧宾夺主，后世许多人只知道理发师悖论却不知道罗素悖论，更不知道罗素悖论针对的只是康托的集合论，不是现代集合论。

 

集合论是康托最早完整提出的。但康托的集合论有一个问题：他没有严格定义“集合”这个概念。康托说，集合就是把具有某种性质的对象都放在一起。康托的集合论提出之后，悖论不断。康托自己就发现过一个“康托悖论”。康托悖论的构造比较复杂，当时不少数学家认为是构造过程出了问题，直到罗素发现了罗素悖论：

 

令X:={x是集合 | x不∈x} (X是所有不属于自身的集合的集合)。然后问：X属于X乎？若然，则根据X的定义，X必不属于X。X不属于X乎？如此则同样根据X的定义，X必属于X。

 

罗素悖论构造非常简单，只用“属于”关系和“把具有某种性质的对象都放在一起”这个直观。从此数学家们明白了，康托的集合定义是错的，因为“属于”关系必不可少。

 

为了修补康托集合论的纰漏，逻辑学家决定严格定义“集合”。他们从代数学上借来了公理化方法。简略说来就是这样：什么是集合？满足我这几条公理的，不管什么东西，就是集合。大家可以比对一下“群”的定义：满足群论三公理（有些教科书上采用等价的二条公理），就是群。至于满足群论三公理的那个东西是整数上的加法、正实数上的乘法，反倒不重要。

 

但具体采用哪些公理，数学家们忽然有了分歧。罗素悖论的核心有两个：一，自指的概念（阮君的“公式用在自己身上”庶几近之）；二，取反（这是阮君忽视的地方，然而他举的几个悖论或明或暗都有“取反”）。集合论的公理化同样分作两派，好像华山派的两宗（集合论的两派自诞生之日不断互相取长补短，是华山派的江湖豪客所比不上的）。一派将集合的概念从下往上切成一层一层的，下层的集合只能属于上层的集合，于是自指被很仔细地剔除了。这一派的代表是ZFC公理系，因为采用的人多，有些教科书上称之为标准系。另一派则严格地限制“取反”的使用，有些甚至完全禁止“取反”。这一派的代表是直觉主义逻辑。我不清楚这个名字的由来，大概是他们的“集合”的概念最接近康托原先的直觉吧。

 

总结一下：罗素悖论只有在康托的集合论里才有。现代集合论是公理集合论，罗素悖论被小心地排除了。

 

ps1. 如果我没记错的话（许多年前在超星上看的，现在帐号过期，无法求证），罗素《数理哲学导论》也有关于两个芝诺悖论的分析，自然详尽得多。大家有兴趣不妨找来一观。

 

ps2. 这方面的知识，数学系里似乎不容易学到；求教哲学系更是进错庙门烧错香，恐怕阮君和wangcf君就是受了一些哲学家不科之普的毒害。因为学科自身的特点和钱的关系，反倒一些搞理论计算机科学的更清楚。

昨日收获颇丰。其一，老夫命不久矣，估计还有二三十年可以蹦跶。其二，老夫原以为会有人带领走出阴界，昨天发现，这个想法很不靠谱。夫天地逆旅，人生朝露，阳间无非暂住，何不折腾欤？公元二千零八年由是可名之曰：折腾元年。

趁着收拾东西准备滚蛋的间隙，我算了算自己在北京的收入和花销。明细表自然T Confidential，就像我在公司拿到的log都是Microsoft Confidential一样。就讲一讲统计下来的结果吧。

 

我在北京总共花去17,000余元，其中7,000左右用于满足口腹之欲；得到恩格尔系数41.2%。小康，接近富裕。开销中房租是个很大的头。我算了一算，如果刨去房租，恩格尔系数急升至69%。绝对贫困。恩格尔系数告诉我们这样一个故事：T某在北航住着的时候，穷得叮当响，埃塞俄比亚的难民都比我富裕；自从我自己租了房子来住，一下子跨过小康奔富裕，T某竟然当了一回有钱人。这故事太有传奇色彩了，央视最能扯的编剧也扯不出来。

 

不写了，我赶着给微软亚洲研究院送锦旗呢。感谢MSRA的好政策哇！啥也不说了，眼泪哗哗的。

周日J. Gray驾船出海，失踪。